Minimization of the zeroth Neumann eigenvalues with integrable potentials

For an integrable potential q on the unit interval, let λ0(q) be the zeroth Neumann eigenvalue of the Sturm–Liouville operator with the potential q. In this paper we will solve the minimization problem L̃1(r) = infq λ0(q), where potentials q have mean value zero and L1 norm r . The final result is L̃1(r)=−r/4. The approach is a combination of variational method and limiting process, with the help of continuity results of solutions and eigenvalues of linear equations in potentials and in measures with weak topologies. These extremal values can yield optimal estimates on the zeroth Neumann eigenvalues. © 2012 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Soit λ0(q) la zéro-ème valeur propre de Neumann de l’opérateur de Sturm–Liouville pour un potentiel intégrable q de l’intervalle [0,1]. Dans cet article nous résolvons le problème de minimisation L̃1(r) = infq λ0(q) pour les potentiels q de valeur moyenne zéro et de norme L1 égale à r . Le résultat est L̃1(r) = −r2/4. L’approche est une combinaison de méthode variationnelle et de procédé de limite, utilisant des résultats de continuité des solutions et des valeurs propres d’équations linéaires en les potentiels et les mesures dans des topologies faibles. Ces valeurs extrémales peuvent donner des estimations optimales sur les zéro-èmes valeurs propres de Neumann. © 2012 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. MSC: primary 34L15; secondary 34L40, 49R05